Medición de ángulos
Ahora continuaremos el estudio de la trigonometría con el concepto de ángulos y sus medidas. Un ángulo q es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos rayos que se extienden desde P. El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son los lados del ángulo. El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se llama rayo terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición terminal.
lado s
terminal
P q
lado
inicial r
Una rotación en el sentido contrario a la manecillas del reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está limitada. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales (Figura 3), estos ángulos se llaman ángulos coterminales.
lado lado inicial
terminal
q
q lado
terminal b
lado inicial a
lado inicial
q ángulo positivo q ángulo negativo a y b ángulos coterminales
Nota: b ángulo positivo
a ángulo negativo
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a continuación.
lado terminal
vértice
lado inicial
Angulo en posición normal Angulo cuadrantal
Así como los segmento se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se miden comúnmente en grados o radianes.
Definición: Medición en grados
Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600). Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “0” denota grados.
Definiciones:
Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide 900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un ángulo que mide mayor de 900 pero menor que 1800. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo.
ángulo llano ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso
ángulo central
Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 900. Dos ángulos son suplementarios si su suma es 1800.
Nota: Los ángulo que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales (ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y).
Definición: Medición en radianes
Si el vértice de un ángulo q está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del arco opuesto a q en la circunferencia es s, entonces q medido en radianes está dado por:
s
r q
Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la misma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades. Además, q se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como medida del ángulo.
Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que se miden la longitud del arco y el radio se eliminan, por tanto, queda un número sin unidades.
Ejemplos para discusión: Halla en radianes la medida de un ángulo central q opuesto a la longitud de un arco s de un círculo de radio r, donde s y r están dados a continuación:
1) s = 8 pulgadas; r = 4 pulgadas
2) s = 24 centímetros; r = 8 centímetros
Ejercicio de práctica: ¿Cuál es la medida de un ángulo central q opuesto a un arco de 60 pies en un círculo de radio de 12 pies?
Conversión entre grados y radianes:
La conversión de grados a radianes y de radianes a grados está basado en que:
Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes fórmulas:
Radianes a grados
Grados a radianes
Ejemplos para discusión:
1) Cambia de radianes a grado:
2) Cambia de grados a radianes:
a) 750
b) 1500
c) -150
Usando la calculadora
También podemos hacer la conversión de grados a radianes y de radianes a grados con la calculadora. Veamos los pasos a seguir dependiendo del tipo de calculadora.
Para cambiar radianes a grados:
Ejemplo: 5 radianes a grados
Calculadora científica
Calculadora gráfica
- Seleccionar el modo “radianes” con la tecla [DRG].
- Entrar el número 5.
- Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta obtener el modo de “grados”.
- La respuesta es 286.50
- Seleccionar el modo “grados con las teclas [MODE],[ENTER],[Exit].
- Entrar al menú [Math].
- Elegir.
- Entrar el número 5.
- Elegir y oprimir [ENTER].
- La respuesta es 286.50
Para cambiar grados a radianes:
Ejemplo: 750 a radianes
Calculadora científica
Calculadora gráfica
- Seleccionar el modo de “grados” con la tecla [DRG].
- Entrar el número 75.
- Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta obtener el modo de “radianes”.
- La respuesta es 1.31
- Seleccionar el modo ”radianes” con las teclas [MODE],[ENTER],[EXIT].
- Entrar al menú [Math]
- Elegir
- Entrar el número 75.
- Elegir y oprimir [ENTER].
- La respuesta es 1.31
Ejercicio de práctica:
1) Cambia de radianes a grado:
2) Cambia de grados a radianes:
a) 2400
b) 2700
3) Completa la tabla a continuación:
Radianes
Grados
90
120
180
210
225
270
315
360
Ahora continuaremos el estudio de la trigonometría con el concepto de ángulos y sus medidas. Un ángulo q es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos rayos que se extienden desde P. El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son los lados del ángulo. El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se llama rayo terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición terminal.
lado s
terminal
P q
lado
inicial r
Una rotación en el sentido contrario a la manecillas del reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está limitada. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales (Figura 3), estos ángulos se llaman ángulos coterminales.
lado lado inicial
terminal
q
q lado
terminal b
lado inicial a
lado inicial
q ángulo positivo q ángulo negativo a y b ángulos coterminales
Nota: b ángulo positivo
a ángulo negativo
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a continuación.
lado terminal
vértice
lado inicial
Angulo en posición normal Angulo cuadrantal
Así como los segmento se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se miden comúnmente en grados o radianes.
Definición: Medición en grados
Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600). Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “0” denota grados.
Definiciones:
Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide 900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un ángulo que mide mayor de 900 pero menor que 1800. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo.
ángulo llano ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso
ángulo central
Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 900. Dos ángulos son suplementarios si su suma es 1800.
Nota: Los ángulo que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales (ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y).
Definición: Medición en radianes
Si el vértice de un ángulo q está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del arco opuesto a q en la circunferencia es s, entonces q medido en radianes está dado por:
s
r q
Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la misma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades. Además, q se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como medida del ángulo.
Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que se miden la longitud del arco y el radio se eliminan, por tanto, queda un número sin unidades.
Ejemplos para discusión: Halla en radianes la medida de un ángulo central q opuesto a la longitud de un arco s de un círculo de radio r, donde s y r están dados a continuación:
1) s = 8 pulgadas; r = 4 pulgadas
2) s = 24 centímetros; r = 8 centímetros
Ejercicio de práctica: ¿Cuál es la medida de un ángulo central q opuesto a un arco de 60 pies en un círculo de radio de 12 pies?
Conversión entre grados y radianes:
La conversión de grados a radianes y de radianes a grados está basado en que:
Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes fórmulas:
Radianes a grados
Grados a radianes
Ejemplos para discusión:
1) Cambia de radianes a grado:
2) Cambia de grados a radianes:
a) 750
b) 1500
c) -150
Usando la calculadora
También podemos hacer la conversión de grados a radianes y de radianes a grados con la calculadora. Veamos los pasos a seguir dependiendo del tipo de calculadora.
Para cambiar radianes a grados:
Ejemplo: 5 radianes a grados
Calculadora científica
Calculadora gráfica
- Seleccionar el modo “radianes” con la tecla [DRG].
- Entrar el número 5.
- Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta obtener el modo de “grados”.
- La respuesta es 286.50
- Seleccionar el modo “grados con las teclas [MODE],[ENTER],[Exit].
- Entrar al menú [Math].
- Elegir
- Entrar el número 5.
- Elegir
- La respuesta es 286.50
Para cambiar grados a radianes:
Ejemplo: 750 a radianes
Calculadora científica
Calculadora gráfica
- Seleccionar el modo de “grados” con la tecla [DRG].
- Entrar el número 75.
- Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta obtener el modo de “radianes”.
- La respuesta es 1.31
- Seleccionar el modo ”radianes” con las teclas [MODE],[ENTER],[EXIT].
- Entrar al menú [Math]
- Elegir
- Entrar el número 75.
- Elegir
- La respuesta es 1.31
Ejercicio de práctica:
1) Cambia de radianes a grado:
2) Cambia de grados a radianes:
a) 2400
b) 2700
3) Completa la tabla a continuación:
Radianes
Grados
90
120
180
210
225
270
315
360
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